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任意空间曲梁几何非线b将积分方程第一项进行分

2022-09-23 08:27 最新消息 已读

  任意空间曲梁几何非线b将积分方程第一项进行分部积分可得TT1TTTT1TTSSSSq1S1q2SeeδddδLLxxdZFuZuZquZF65a其中TT1TT1Te1111212uuuuθuθTTTeS1S

  任意空间曲梁几何非线b将积分方程第一项进行分部积分可得TT1TTTT1TTSSSSq1S1q2SeeδddδLLxxdZFuZuZquZF65a其中TT1TT1Te1111212uuuuθuθTTTeS1S2FFF65bSTT2122112233IIZZIIκCCICCκCCκCCκCC0000000065即是以截面位移和截面内力表示的曲梁虚功方程。通过观察可知由于平衡方程的内力偶联导致内力做功也是偶联的也就是说对应的内力不仅仅只是在对应的虚位移上做功。另外需要注意的是65并没有忽略剪切变形功忽略剪切变形功时令230FF即可。可以证明对于线的变形功项和按照固体力学应力应变理论计算的变形功是相等的即有TTSSSδdδdijijeAdZF66对于式66等号右边由于应变只有少数几项不为零于是根据式46当考虑线δδijijedCSHH67而对于式66等号左边有TS111213ddAFJ68a哈尔滨工业大学工学博士学位论文56T000xxxx58推得注意上式J已经忽略剪力。经过展开验证当略去高阶项后TTT2T3TSZJCSHH69a21TT2T2000000xxxxxxxxxxxxxxxxxCSH213212223T232000000xxxxx69b2112321TS69c于是式66成立。即对于线变形功项和按照固体力学应力应变理论计算的变形功相等。任意空间曲梁几何非线的证明中δdijijeA仅仅考虑了线性应变。当仅仅考虑非线δδijijedCQCd0070受线性变形功的启发只要构造一个ZQ使得TTQSZJCQCd0071那么就有TTT11SSQSδdδddijijLLAxeAxdZZF72其中等号右边考虑了应变的线性和非线性项。经过观察ZQ可如下构造T123QQSQSQSZZdZdZd00073其中ZQ需要满足13223TQQQxxZZZCQC74事实上将CTQC具体元素写出发现对CTQC很容易进行这样的分解。分解后ZQ1、ZQ2、ZQ3的具体表达式如下3312211211Q0010000sym0哈尔滨工业大学工学博士学位论文23232Q100000002sym323213Q00201000sym000022综上以截面位移和内力表示的可考虑非线性问题的虚功方程为TTT1TTTT1TTSSQSSq1S1q2SeeδdδLLxxdZZFuZuZquZF75和按照固体力学几何非线性理论建立的虚功方程是等价的。本构方程为了将式75应用于建立有限元列式需要给出截面内力FS和截面独立位移导数列阵dS之间的关系也就是截面本构关系。当考虑弹性问题时若采用广义Hooke本构关系则Green应变张量和Kirchhoff应力张量之间可由一各向同性弹性张量联系。考虑到Green应第3章任意空间曲梁几何非线个非零量以及弹性张量的性质可得Kirchhoff应力张量的分量如下忽略次应力22和133122EeGeGe76a其中76bλ、G为Lam常数E为弹性模量ν为Piosson比。而E0可以看作是考虑Piosson效应后的修正弹性模量。应力在截面上积分并考虑式46可得截面内力和截面独立位移之间关系忽略剪力SLSNSSFDdDdd77a其中1T4T5T6TTLLLLL1T5T6TTNNNN1L042332LAAEAGxxADDDDDDDDDDSCDHH0000077b53L062L01TTNS05T3TNS06T2TNS0d1d21d21d2AAAAAExAExAEAExAExADSCDSCDdCQCDdCQCDdCQC77c而事实上利用式68和式71DL和DN还可以进一步表示为LSSDDZ78a哈尔滨工业大学工学博士学位论文60NQQ12DDZ78b23000S223003symEAESESGIEIEIEI78c另外DQ的具体元素和DS一致只是需令GIρ。其中A为截面面积S2、S3为截面静矩I2、I3为截面惯性矩I23为截面惯性积Iρ为截面极惯性矩。显然DS就是空间直梁的截面本构矩阵。有限元列式上述这些方程虽然已经尽可能使用简洁的描述方式但是应用起来还是很不方便的。要想在工程实际中应用一个有效的途径就是将其列成有限元式子编写为程序。这一部分进行的就是这个工作。首先给出通用的列式。然后再具体的给出圆弧、悬链线、阿基米德螺线三种具有代表性的曲线列式特别的还给出仍然具有任意性的等参数曲线列式。最后是一些算例的例证。位移插值有限元思想的精髓之一就是将单元内无数个点的位移用插值的方式表示为有限个结点位移的函数。对于直梁单元由于变形的独立性所以位移矢量的插值可以分解为分量的插值。曲梁却没有这样的优势为了考虑曲梁变形的耦合特性需直接进行位移矢量插值。同时为了达到协调性和完备性的要求位移仍采用Hermite插值函数转角采用Lagrange插值函数。这些插值函数的具体表达式是任意空间曲梁几何非线b这些插值操作的具体表达式是0120iiiiiiiiiixxxxLxLiiiiiixxxLuHuHuHuHuLLeeeeeeee80其中1iixue是x1截面的位移矢量ui是位移矢量在ie方向上的分量10iixu10iixuiixLue分别为曲梁起始和终止端的位移及其导数矢量10iix是转角矢量在ie方向上的分量L是曲梁的总曲线长度。此时记住各位移和转角分量都是在各自截面RC的基ie下的分量。将iiue展开并考虑iijiiijiiuuuKeee81a233281b于是20 iiiiiiiiiixxxxLxLiiiiiixxxLuHuHHuHLL eeeeeeee 82接下来需要将1 ixe 等坐标基消去。这需要借助一个转换过程 将梁端截面的10 ix ixLe转换用固定坐标系Cf的基j e表示 然后再转换用x1截面形心主轴随动坐标系RC e表示 jjxjiijiiixxLjLjxjiijiiixLxΛΛΛΛΛΛ eeeeee 83其中1xjiΛ e的关系矩阵称为坐标关系矩阵 哈尔滨工业大学工学博士学位论文 62 11111 xjxjiijjiixxΛΛ eeee 84这个1xjiΛ 的具体表达由曲线的具体形式决定 在后面本文会给出几种曲线xjiΛ 。但不论何种曲线xjiΛ 都有如下性质 11 1xjkxjiikΛKΛ 85因为 11 1xjkkxjijiikikjΛKKΛeeee 86经过这个转换后有 11111100T1121324200T1122 ikjkjkLjkLjxjikkkkiixxikjkjxjikkiixxuHuΛHΛHuΛHΛΛLΛLΛΛ eeee 87消去1 ix 并且转角只考虑扭转角插值1111110T0TTT1121324210T0T111221 ikjxjkjxjkLjxjkLjxjkikikikikjxjkjxjkkuHuΛΛHΛΛHuΛΛHΛΛLΛΛLΛΛ 88这是张量表达式 非常不便于编程序。下面将给出对应的矩阵表达式 截面的位移列阵为 T1TS123T uuu uuu 89插值的目的是将它用曲梁单元两端的结点位移ue表示 SSTe uNΛΛTu 90aTT1TT1Te111 1222 uuuuθuθ 90b其中 0LL NNNNN 90cdiag iiiiNNN 90d111111S11diag xxxxxx 任意空间曲梁几何非线 LLLLΛIΛωIIΛΛTIΛωIIΛΛ0000 90f11 132 333333000 000xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 90g11132 1 100xxx ωII 90h11x Λ是1x Λ的第一行。 进一步的截面的独立位移导数列阵dS就可以通过对us求导得到 S1S1STeeS 12S2STe dAuANΛTuBuuAuANΛTu 11112 91b1112341 12 13 14 11S1 112 113 114 11112111 121 11 122S xxxxxxxxxxxxxxxxxLLLL NΛNΛNΛNΛNΛNΛNΛNΛANNΛNΛNΛNΛΛΛΛΛNΛNAN 11111 13 14 111 121 xxxxxLLΛNΛNΛΛΛ00000 TL增量格式对于非线建立的全量形式的虚功哈尔滨工业大学工学博士学位论文 64 方程求解问题是不方便的。需要将式 75改写成增量形式。 这个改写工作有两种做法。一种称为Total Lagrange TL 增量格式 也就是曲梁初始位形为一个固定不变的最初位形。另一种称为Update Lagrange UL 增量格式 曲梁初始位形是上一时刻的变形形态 这意味着初始位形总是在变化。这两个做法的具体理论讨论并不是本文的内容 请参考有关著作 如Surana 105 Bathe Ramm和Wilson 106 Bathe 107 等学者的著作。 先进行第一种做法。当单元两端结点相对上一时刻发生了一个增量位移Δue时 x1截面的独立位移导数矩阵dS、截面内力FS和梁结点力Fe也将有个一增加 SS0SSS0See0e dddFFFFFF 92其中dS0、FS0和Fe0是上一时刻单元原本就有的物理量 分别称为初位移、初内力和初结点力。这没有什么奇怪的 因为TL增量格式参考的一个固定不变的最初位形 等变形发展到上一时刻这些物理量当然不一定为零。并且在这个过程中外部施加在单元上的荷载也是变的 故有 SS0S qqq 93依据式 91的规律 x1截面的增量位移矩阵ΔuS和增量独立位移导数矩阵ΔdS也当服从这个规律 SSSTeS 12TeSe ANuNΛΛTuuΛTudBu 94把这些式子全代入到式 75全量形式的虚功方程中去。并注意变分运算法则 将得到TL增量格式的虚功方程 LLxxdZdZdZFFuZuZqquZFF 95a其中

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