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积分总结 - 道客巴巴

2022-09-22 08:10 最新消息 已读

  重要积分的定义和计算方法总结 名 称 定 义 计 算 方 法 二 重 积 分 设,fx y 是有界闭区域 D 上的有界函数将闭区域 D 任意分成n 个小闭区域12,,,n其中i表示第i 个小闭区域也表示它的面积.在每个i上任取一点,ii作乘积,1, 2,,iiifin并作和1,niiiif .如果当各小闭区域的直径的最大值 趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数,fx y 在闭区域 D 上的二重积分记作,dDfx y即 01,d= lim,niiiiDfx yf . 利用...

  重要积分的定义和计算方法总结 名 称 定 义 计 算 方 法 二 重 积 分 设,fx y 是有界闭区域 D 上的有界函数将闭区域 D 任意分成n 个小闭区域12,,,n其中i表示第i 个小闭区域也表示它的面积.在每个i上任取一点,ii作乘积,1, 2,,iiifin并作和1,niiiif .如果当各小闭区域的直径的最大值 趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数,fx y 在闭区域 D 上的二重积分记作,dDfx y即 01,d= lim,niiiiDfx yf . 利用直角坐标计算二重积分   xy2121d,d,dd,dbxaDdycxfx yyfx yyfx yx 利用极坐标计算二重积分 0,dcos,sinddcos,sinddDDfx yff    = 三 重 积 分 设,,fx y z 是空间有界闭区域 上的有界函数 将 任意分成n 个小闭区域12,,,nvvv 其中iv表示第i 个小闭区域也表示它的体积.在每个iv上任取一点,,iii作乘积,,1, 2,,iiiifvin并作和1,,niiiiifv .如果当各小闭区域的直径中的最大值  趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数,,fx y z 在闭区域  上的三重积分记作,,dfx y zv即 01,,d = lim,,niiiiifx y zvfv . 利用直角坐标系计算三重积分 x y  x2211,,,,ddd,,dbyxzx yayzfx y zvxyfx y zz 利用柱面坐标计算三重积分 ,,d,,ddd,,=cos,sin,fx y zvFzzFzfz   利用极坐标计算三重积分  其 中 r22,2000,,,d,,sind dddd,,sind,,=sincossinsin,cosfx y zvFrrrFrrrFrfrrr     =其 中 第 一 类 曲 线 积 分 设 L 为 xO y 面内的一条光滑曲线弧函数,fx y 在 L 上有界在 L 内任意插入一点列121,,,nMMM把 L 分成 n 个小段设第i 个小段的长度为is.又,ii为第i 个小段上任意取定的一点 作乘积,1, 2,,iiifsin 并作和1,niiiifs.如果当各小弧段的长度的最大值 趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数,fx y 在曲线弧 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作,dLfx ys即 01,dlim,niiiLifx ysfs  其中,fx y 叫做被积函数 L 叫做积分弧段. 设,fx y 在曲线弧 L 上有定义且连续 L 的参数方程为   xyttt 其中 , tt、在,上具有一阶连续导数且  220tt则曲线积分dLfx ys存在且     22,d,dLfx ysfttttt 名 称 定 义 计 算 方 法 第 二 类 曲 线 积 分 设 L 为 xO y 面内从点 A 到点 B 的一条有向光滑曲线弧函数,Px y 、,Qx y 在 L 上有界在 L 上沿 L 的方向任意插入一点列121,,,nMMM把 L 分成 n 个有向小段101, 2,, ;,iinMMin MA MB 设1iiixxx1iiiyyy点,ii为1iiMM 上任意取定的点.如果当各小弧段长度的最大值  趋于零时1,niiiiPx 的极限总存在则称此极限为函数,Px y 在有向曲线弧 L 上对坐标 x 的曲线积分记作,dLPx yx.类似地如果1,niiiiQy 的极限总存在则称此极限为函数,Qx y 在有向曲线弧 L 上对坐标 y 的曲线积分记作,dLQx yy. 即01,dlim,niiiLiPx yxPx 01,dlim,niiiLiQx yyQy 以上两个积分也成为第二类曲线积分. 设,Px y 、,Qx y 在有向曲线弧 L 上有定义且连续 L 的参数方程为   xytt 当参数t 单调地由 变到  时 点,Mx y 从 L 的起点 A 沿 L 运动到终点 B    t  、   t在以 以及  为端点的闭区间上具有一阶连续导数且 220tt则曲线积分     ,d,d,,dLPx yxQx yyPtttQtttt 第 一 类 曲 面 积 分 设曲面  是光滑的函数,,fx y z 在  上的有界把  任意分成 n 小块iSiS同时也代表第 i 小块曲面的面积设,,iii是iS上任意取定的一点作乘积,,1, 2,,iiiifSin并作和1,,niiiiifS .如果当各小块曲面的直径的最大值 趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数,,fx y z 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类区面积分记作,,dfx y zS即 01,,dlim,,niiiiifx y zSfS . 2x2y,,d,,,1,,d dxyDfx y zSfx y zx yzx yzx yx y 第 二 类 曲 面 积 分 设 为光滑的有向曲面 函数,,Rx y z 在 上的有界 把 任意分成n 小块iS iS同时也代表第i 小块曲面的面积 iS在 xO y 面上的投影为nRixyS ,,iii是iS上任意取定的一点如果当各小块曲面的直径的最大值  趋于零时 01lim,,iiiixyiS 总存在则称此极限为函数,,Rx y z 在曲面 上对坐标 xy、的曲面积分记作,,d dRx y zx y即 01,,d dlim,,niiiixyiRx y zx yRS .类似地 函数,,Px y z 和,,Qx y z 在有向曲面 上分别对 yz、和 zx、的曲面积分为 01,,d dlim,,niiiiyziPx y zy zPS 和 01,,d dlim,,niiiizxiQx y zz xQS 以上三个曲面积分也称第二类曲面积分. ,,d d,,d d,,d dRx y zx yPx y zy zQx y zz x  ,,d d,,,d dRx y zx yRx y zx yx y  ,,d d,,,d dPx y zy zPx y zx yy z  ,,d d,,,d dQx y zz xQx y zx yz x 

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